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Solution des jeux de PM18

La balance

Vrai ou faux ?

L'aimant et l'enclume étant fixés sur le même solide, le bilan des forces est nul: le véhicule n'avance pas.

Centre d'une ellipse

La question n'est pas courante pour une ellipse; en revanche, c'est un classique de niveau collège pour les cercles. L'idée est de se souvenir qu'une ellipse est un cercle « déformé »; plus précisément, c'est l'image d'un cercle par une affinité orthogonale. (Rappelons qu'une affinité est analogue à une homothétie hormis que l'invariant est une droite au lieu d'un point.) On se ramène donc à trouver une caractérisation géométrique du centre d'un cercle qui soit préservée par une transformation affine.

Commençons donc par le cas plus simple d'un cercle. On connaît une méthode simple et sûre: les médiatrices de deux cordes se coupent au centre du cercle. Hélas, les angles ne sont pas préservés par une affinité. Mais on en déduit une propriété: la droite joignant les milieux de deux cordes parallèles passe par le centre du cercle. En utilisant deux paires de cordes parallèles, on obtient ce centre. Comme les milieux et les intersections sont préservés par les affinités, cette caractérisation se transporte inchangée pour les ellipses.

Énigmes

  1. Il fait du trafic d'âne.
  2. Leur fille.
  3. Vous pouvez prêter votre voiture à votre ami pour qu'il conduise la grand-mère à l'hôpital puis qu'il aille à son rendez-vous, et pendant ce temps vous discutez une heure avec le vieux sage.
  4. Toutes les cartes rouges qui manquent dans le jeu rouge y sont remplacées par des cartes noires. Comme les deux jeux contiennent le même nombre de cartes à la fin, à chaque carte noire dans le paquet rouge correspond un carte rouge dans le paquet noir. Chaque jeu contient donc exactement autant de cartes étrangères que l'autre.
  5. Il faut prendre un ticket dans la boîte étiquetée « 1 ticket gagnant + 1 ticket perdant ». On sait par hypothèse que cette étiquette ne reflète pas le contenu de cette boîte, donc elle contient soit deux tickets gagnants, soit deux tickets perdants. Si le ticket que l'on a sorti de la boîte est gagnant, on sait qu'elle contient deux tickets gagnants et il faut donc choisir celle-là.

    Si le ticket que l'on a sorti était perdant, on sait que cette boîte contient deux tickets perdants. Choisissons maintenant parmi les deux boîtes restantes. Celle étiquetée « 2 tickets gagnants » ne contient ni deux tickets gagnants (par hypothèse), ni deux tickets perdants (cette boîte a déjà été trouvée). Elle contient donc un ticket gagnant et un ticket perdant. Par suite, la dernière boîte, étiquetée « 2 tickets perdants », est celle qui contient les deux tickets gagnants.

    On peut donc gagner à coup sûr.
  6. Si l'on suppose que les poissons marqués se sont uniformément mélangés aux autres et que les poissons se déplacent aléatoirement dans tout le lac, la deuxième capture permet d'affirmer que le biologiste avait marqué, le premier jour, environ 2/50 = 4% des poissons de lac. Ce dernier en contient donc environ 1250.

Logimages et sudokus