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Solution des jeux de PM13

Cherchez l'erreur

Ce qui est troublant dans cette image, c'est que l'immense majorité du volume de l'ensemble règle+marteau se trouve loin de la table; on a donc le sentiment que cela ne peut pas tenir. Et pourtant, ce qui compte d'un point de vue physique n'est pas le barycentre géométrique, mais le barycentre des masses. Or l'essentiel de la masse d'un marteau est concentrée dans sa tête, et la règle a une masse négligeable. Dès lors que la tête du marteau est suffisamment sous la table, l'ensemble peut tenir. Il s'agit d'une photo non truquée.

Culture mathématique

• Un spectre est l'ensemble des valeurs propres d'une application linéaire.
• Rappelons que les moyennes arithmétique, géométrique et harmonique de nombres a₁, ..., a_n sont respectivement construites à partir de l'addition (moyenne usuelle), de la multiplication (racine n-ième du produit des termes) et de l'inverse (inverse de la moyenne arithmétique des inverses).
  
  Un exercice classique de prépa montre, à l'aide d'inégalités de convexité, que la moyenne harmonique est toujours inférieure ou égale à la moyenne géométrique, elle-même toujours inférieure ou égale à la moyenne arithmétique.
• n ! (formule de Stirling).
• Les polynômes de Tchebychev servent à linéariser les polynômes trigonométriques: cos(nx) = T_n(cos x). Exemple: cos 3x = T₃(cos x) = 4 cos³ x - 3 cos x.

La balance

Énigmes

1. Puisque qu'entre le livre marron et le livre rose s'insèrent deux autres livres, le rose est en position 4 ou 5 en partant de la gauche. Comme il n'est pas le dernier, il est en position 4. Par suite, le livre marron, séparé du livre rose par au moins deux livres, est en position au plus 1, donc exactement 1. Or gris, orange et rose sont dans cet ordre par hypothèse, sans forcément se toucher a priori. Comme il n'y a que deux emplacements libres à gauche du livre rose, on doit placer gris en position 2 et orange en position 3. Le livre restant, doré, est en position 5.
   
   Solution: marron, gris, orange, rose, doré
   
   
2. Appelons Ms les matinées de soleil et Mp les matinées pluvieuses. De la même façon, notons As les après-midi ensoleillées et Ap celles pendant lesquelles il a plu. Selon l'énoncé, la journée peut se dérouler de trois façons:
   • Ms, As
   • Mp, As
   • Ms, Ap
   On sait de surcroît que Ms=11, As=12 et Mp+Ap=13. Si n est le nombre de jours de vacances, alors Ms+Mp+As+Ap=2n et Ms+Mp+As+Ap=11+12+13=36 donc 2n=36 et n=18. Les vacances ont duré 18 jours.
   
   
3. Notons A, B et C les trois steaks hachés et A1, A2, B1, B2, C1 et C2 leurs faces. On divise les 15 minutes en trois tours de 5 minutes. Pendant le premier tour, on fait griller A1 et B1; durant le deuxième, B2 et C1; on termine avec C2 et A2.
   
   
4. Mettons sur l'un des plateaux de la balance le beurre et la farine, qui pèsent à eux deux 600 g, et sur l'autre plateau le paquet de sucre de 1 kg. Avec une cuiller, on prélève progressivement du sucre du paquet, que l'on dépose sur l'autre plateau jusqu'à ce que les deux plateaux s'équilibrent. On a alors d'un côté 800g de sucre dans le paquet, et de l'autre le beure, la farine et les 200 g de sucre nécessaires à la recette.
   
   
5. Quand la fourmi A qui remonte la corde rencontre la fourmi B qui la descend, chacune rebrousse chemin: A redescend et B remonte. Du point de vue de l'ensemble des fourmis, toutefois, cela ne change rien: il y avait, avant la rencontre, une fourmi qui montait et une autre qui descendait, et c'est la même histoire après la rencontre. La rencontre n'a rien changé. Comme la corde mesure 1 m et que les fourmis avancent à la vitesse de 1 m/s, toutes les fourmis auront quitté la corde au bout d'au plus une minute.
6. 
   

Logimages et sudokus