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Sondage

Solution des jeux de PM12

Culture mathématique

• Il s'agit de ζ(2) et ζ(4), où ζ(k) est la somme de la série de terme général 1/n^k pour k dans N^*.
• Ce sont des polynômes d'interpolation: il existe un unique polynôme de degré n-1 passant n points donnés du plan.
• • Dans Rⁿ, le produit scalaire usuel est le produit terme à terme des coordonnées de deux vecteurs:
    (x, y) -> x₁y₁ + x₂y₂ + ... + x_ny_n
  • Dans M_n(K), le produit scalaire usuel des matrices A et B est une somme de produits de scalaires, que l'on peut résumer par la formule Tr(^tAB).
  • Dans les fonctions continues, on utilise souvent une intégrale entre deux réels du produit f×g.
• Le procédé de Gram-Schmidt permet de calculer une base orthonormale d'un espace vectoriel (muni d'un produit scalaire) à partir d'une base quelconque de cet espace.
• L'identité !
• Tout dépend de la fréquence: dans le domaines visible, les ondes électromagnétiques sont simplement « la lumière », dont il est bien connu qu'elle ne franchit pas le béton. En revanche, on peut capter la radio (et, en particulier, faire fonctionner un téléphone portable, par exemple) dans une pièce ne comportant aucune fenêtre.

Cherchez l'erreur

En dépit des apparences, la figure du haut n'est pas un triangle: le trait qui relie les pointes nord et ouest a un point anguleux à la jonction des deux sous-triangles.

La balance

Énigmes

1. L'énoncé fait, implicitement, l'hypothèse que toutes les pages du livre sont numérotées (pas de page de garde blanche juste après la couverture, par exemple) et que la numérotation n'utilise que les chiffres usuels (certains livres numérotent en chiffres romains l'avant-propos, le sommaire, etc.).
   • Les 9 pages numérotées 1 à 9 utilisent 1 caractère chacune: 9 caractères.
   • Les 90 pages numérotées 10 à 99 utilisent 2 caractères chacune, soit 180 caractères et 189 au total.
   • Les 900 pages numérotées 100 à 999 utilisent 3 caractères chacune, soit 2700 caractères et 2889 au total.
   On sait que 100 caractères de plus ont été utilisés. Ils concernent donc des pages situées entre 1000 et 9999, qui utilisent 4 caractères chacune. Il y a donc 25 pages supplémentaires, soit au total 1024.
   
   Si vous feuilletez quelques livres, vous vous apercevrez que leurs nombres de pages sont toujours multiples de 8, pratiquement toujours multiples de 16, et souvent multiples de 32. Cela tient aux machines des imprimeurs, qui sont optimisées pour imprimer d'un coup des paquets de 32 pages. Pour imprimer un « cahier » de 16 pages, on imprime en fait une feuille prévue pour 32 pages et on jette les 16 feuilles restées blanches après pliage.
   Et s'il y a bien une chose que vous ne trouverez jamais, c'est un livre comportant un nombre impair de pages ! (Pourquoi ?)
2. Puisque les navires avancent à une vitesse relative de 20+40=60 km/h, que la distance qui les sépare initialement est 120=60×2 km et que le pigeon voyageur vole à la vitesse constante de 15 km/h, il a parcouru 15×(120/60)=30 km lorsque les bateaux se croisent.
3. Imaginons deux groupes d'amis faisant chemin le même jour, l'un montant le sentier de 10h à 19h en faisant les mêmes pauses que celui considéré, l'autre le descendant de 8h à 16h, toujours de la même manière que le groupe considéré dans l'énoncé. Comme les deux groupes empruntent le même chemin, ils doivent nécessairement se croiser en route. La réponse est donc positive.
   Une approche plus taupinale consiste à considérer deux fonctions, une par jour, exprimant l'altitude du centre de gravité du groupe en fonction du temps. Vu que les deux sont continues, l'une croissante, l'autre décroissante, et que les altitudes du bas et du haut sont les mêmes, le théorème des valeurs intermédiaires assure qu'elles ont au moins un point en commun.
4.  
5. Il suffit aux Gaulois de poser une poutre dans un coin du fossé puis, prenant appui sur cette poutre, d'en poser une deuxième qui franchira sans mal l'espace restant.
6. Lorsque B fait un tour complet de A, son centre a parcouru une distance 2 pi (R+R), en notant R le rayon d'une roue. Cette distance vaut deux fois le périmètre de B et les dents assurent qu'il n'y a pas de glissement, donc B a fait deux tours sur elle-même.

Logimages et sudokus