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Solution des jeux de PM11

Vrai ou faux ?

L'aimant et l'enclume étant fixés sur le même solide, le bilan des forces est nul: le véhicule n'avance pas.

La balance

Centre d'une ellipse

La question n'est pas courante pour une ellipse; en revanche, c'est un classique de niveau collège pour les cercles. L'idée est de se souvenir qu'une ellipse est un cercle « déformé »; plus précisément, c'est l'image d'un cercle par une affinité orthogonale. (Rappelons qu'une affinité est analogue à une homothétie hormis que l'invariant est une droite au lieu d'un point.) On se ramène donc à trouver une caractérisation géométrique du centre d'un cercle qui soit préservée par une transformation affine.

Commençons donc par le cas plus simple d'un cercle. On connaît une méthode simple et sûre: les médiatrices de deux cordes se coupent au centre du cercle. Hélas, les angles ne sont pas préservés par une affinité. Mais on en déduit une propriété: la droite joignant les milieux de deux cordes parallèles passe par le centre du cercle. En utilisant deux paires de cordes parallèles, on obtient ce centre. Comme les milieux et les intersections sont préservés par les affinités, cette caractérisation se transporte inchangée pour les ellipses.

Énigmes

  1. Le contrôle ne peut pas avoir lieu le dernier jour de la semaine où les élèves ont cours avec ce professeur, sinon ils sauraient d'avance que le contrôle doit avoir lieu ce jour-là, par élimination. Par une récurrence immédiate, le contrôle ne peut avoir lieu aucun jour de la semaine. Une fois les élèves convaincus que le contrôle ne peut avoir lieu, le professeur est libre de choisir n'importe quel jour et la surprise sera quand même assurée.
  2. Un Kis, qui dit toujours la vérité, ne peut pas répondre à la question « Ta réponse à cette question est-elle non ? » En effet, qu'il réponde oui ou non, ce sera forcément un mensonge. Comme les deux réponses possibles sont des mensonges, un Biz peut répondre librement par oui ou non.
    Symétriquement, un Biz ne peut pas répondre à la question « Ta réponse à cette question est-elle oui ? » sans dire la vérité, tandis qu'un Kis peut répondre comme il l'entend.
  3. Toutes les cartes rouges qui manquent dans le jeu rouge y sont remplacées par des cartes noires. Comme les deux jeux contiennent le même nombre de cartes à la fin, à chaque carte noire dans le paquet rouge correspond un carte rouge dans le paquet noir. Chaque jeu contient donc exactement autant de cartes étrangères que l'autre.
  4. Si l'on suppose que les poissons marqués se sont uniformément mélangés aux autres et que les poissons se déplacent aléatoirement dans tout le lac, la deuxième capture permet d'affirmer que le biologiste avait marqué, le premier jour, environ 2/50 = 4% des poissons de lac. Ce dernier en contient donc environ 1250.
  5. Une boîte ! En effet, il suffit que la diagonale de cette dernière fasse au moins 150 cm et que chaque côté fasse moins de 120 cm. Il reste à vérifier que c'est possible. Notons a et b les longueurs des côtés. Vu la disposition, le théorème de Pythagore s'impose: a² + b² = 150². Si a=120, b² reste positif donc il existe bien une solution.
  6. On remarque que chaque domino couvre nécessairement une case blanche et une case noire, donc toute figure recouvrable par des dominos doit avoir autant de cases blanches que de cases noires. Comme les deux coins opposés d'un échiquier ont nécessairement la même couleur, le recouvrement par des dominos de l'échiquier privé de deux coins opposés est impossible.

Logimages et sudokus