Solution des jeux de PM08

La balance

Culture scientifique

La masse du Soleil est environ 2.10³⁰ kg, celle de la Terre environ 6.10²⁴ kg, donc le Soleil est environ un tiers de million de fois plus lourd que la Terre.
Les condensateurs et les bobines sont deux composants capables de stocker de l'énergie électrique dans un circuit. Quand le circuit est brutalement ouvert, pas de problème pour le condensateur: ses plaques restent chargées. En revanche, une bobine n'a pas de moyen de stocker durablement l'énergie qu'elle a acquise pendant la circulation du courant. Lorsque le courant est coupé, la tension qu'elle impose aux bornes de l'interrupteur est suffisante pour ioniser l'air et le rendre conducteur pendant un court instant. Ceci crée un arc électrique entre le circuit et l'interrupteur. On appelle cet arc, de faible intensité dans des conditions de TP, une étincelle de rupture. On peut remarquer que bien que la décharge de courant soit rapide, l'intensité dans le circuit varie continûment.

Lorsque le courant est continu, le déversement du courant en direction de l'interrupteur peut être arrêté par une diode dite de roue libre, comme sur le dessin ci-dessous. Une fois l'interrupteur ouvert, le courant circule en boucle dans la diode et la bobine et se dissipe peu à peu sous forme de chaleur.
Les 7 unités du système international sont le kilogramme (et non le gramme !), la seconde, le mètre, le candela (cd, mesure de l'intensité lumineuse), l'ampère, le kelvin et la mole.
Une glace sans tain est exactement symétrique: elle laisse passer la lumière autant dans un sens que dans l'autre. En pratique, on éclaire donc violemment la salle d'interrogation tandis que la salle d'observation demeure dans la pénombre.

Énigmes

Les 12 allumettes peuvent être partitionnées en un triplet pythagoricien 3+4+5. Le triangle rectangle en résultant a une aire de (4×3)/2=6 A². On lui enlève alors 2 A² au niveau de l'angle droit.
On peut faire l'hypothèse que dès que je suis capable de formuler une pensée en espagnol, je le fais; inversement, Maria s'exprime en français dès qu'elle le peut. La situation peut alors se résumer par le diagramme suivant, sur lequel on obtient directement les pourcentages intéressants par multiplication et addition.
La plus « grande » pastèque est a un rayon 1,25 fois égal à celui de la petite pastèque. Le rapport des volumes est par conséquent 1,25³, qui vaut au moins 1 + 0,25×3 = 1,75. La grande pastèque est par conséquent moins chère au litre. Si de plus les pastèques ont des masses volumiques comparables, la grande pastèque est moins chère au kilo.
Comme l'angle incident est égal à l'angle réfléchi lorsqu'un rayon lumineux parvient sur un miroir (loi de Descartes), un rayon lumineux allant de mes yeux à mes pieds intersecte nécessairement le miroir (vertical) à la moitié de la hauteur entre le sol et mes yeux. Il en est de même pour un rayon allant de mes yeux au sommet de mon crâne. Ceci est indépendant de la distance du miroir.

Sous réserve que le miroir soit positionné verticalement à une hauteur optimale, il suffit donc qu'il mesure 1,70 / 2 = 0,85 m.
Avec 12 personnes, il n'est pas réaliste de chercher une solution combinatoire ingénieuse utilisant des permutations à points fixes. Pour cette énigme, nous avons recours à une exploration par épuisement des cas.

Afin de soutenir l'imagination et d'aider à ne rien oublier, nous utilisons des dessins. Sur le schéma ci-dessous, les hommes, qui « s'assoient toujours aux mêmes places », sont représentés par des points noirs numérotés de A à F. Ils laissent entre eux 6 places vides, symbolisées par des ronds blancs. C'est dans ces places que s'installent leurs épouses.

Lorsqu'une épouse est assise, on colorie sa place en orange et on relie par un trait rouge les places des époux. La contrainte d'exclusion « les épouses ne se placent jamais à côté de leur propre mari » impose qu'un trait ne peut jamais relier deux places contiguës.

On appellera distance entre un mari et son épouse le numéro de la place blanche occupée par l'épouse en comptant à partir du mari; la première place (interdite) est numérotée 1; on compte dans le sens des aiguilles d'une montre; les distances sont supposées positives; et au besoin on prend le modulo 6 (ainsi, une distance de 8 devient une distance de 2). Par exemple, sur le dessin ci-dessous, B est à une distance 3 de sa femme.

Une configuration sera notée sous la forme d'une suite de caractères représentant la distance de A à son épouse, puis la distance de B à son épouse, etc. Une configuration est une solution si elle ne conduit pas à ce que deux épouses soient assises à la même place et si elle respecte la contrainte d'exclusion. Par hypothèse, les distances peuvent valoir 2, 3, 4 ou 5 si la configuration est une solution. Nous allons construire successivement toutes les solutions acceptables en examinant les configurations de 222222 à 555555, en ne retenant que celles qui marchent et en comptant les multiplicités.

Commençons par examiner la configuration qui comporte les plus petites distances, soit 222222:

Il s'agit à l'évidence d'une solution. On remarque en outre que si les 5 premières épouses sont placées, la dernière n'a pas le choix de la place si l'on veut une solution, c'est-à-dire que toutes les configurations qui commencent par le préfixe 22222 (soit 222222, 222223, 222224 et 222225) ne donnent qu'une seule solution (222222). On dira dans ce type de cas que l'épouse de F n'a qu'une seule possibilité.

Si l'on supprime maintenant les affectations des deux dernières épouses, on obtient la configuration (2222) suivante:

F n'a toujours qu'une seule possibilité, ce qui contraint à son tour l'épouse de E. Enlevons encore une affectation (222):

C'est pareil, l'épouse de F n'a qu'une place, donc celle de E aussi, donc celle de D également. On peut donc passer à la configuration 223:

Si F était à distance 2 de sa femme, soit D soit E serait bloqué. F est donc à distance 5 et toutes les solutions possibles commençant par 223 sont de la forme 223..5:

On constate qu'il y a deux solutions, 223335 et 223425:

Considérons plus longuement 223335: que se passerait-il si l'on faisait pivoter de 60° les segments de droite (le point origine est le centre du cercle) ? Voici la figure obtenue:

Les hommes n'ont pas changé de place; les femmes ont, elles, changé de place, mais pas suivant une rotation de 60°. C'est une configuration complètement différente, mais qui marche aussi. Plus généralement, on peut faire tourner une solution de k × 60° et on obtient toujours une solution.

Ceci va nous aider à réduire considérablement le nombre de configurations à envisager. En partant de la solution 223335, on en a obtenu une autre par une opération géométrique qui se traduit, sur le codage de la solution, par une permutation circulaire des symboles; le dessin ci-dessus est en effet codé 522333. Si l'on tourne de nouveau de 60° les cordes, on obtient le codage 352233, qui est nécessairement une solution en raison de la géométrie du dessin. Dans le cas particulier de la solution 223335, une solution mène à 5 autres par des permutations circulaires: les codages ainsi obtenus sont tous distincts, ce qui ne serait pas le cas avec la solution 222222.

Le problème est donc de ne pas compter deux fois la même solution. Il y a une méthode simple: une fois que toutes les solutions commençant par 2 (puis 3, puis 4) auront été trouvées, et toutes celles qui s'en déduisent construites par permutation circulaire, on pourra se limiter à ne chercher que des configurations qui ne contiennent pas le chiffre 2 (puis ni 2 ni 3, puis ni 2, ni 3, ni 4). En effet, si une solution commence par 3, 4 ou 5 et contient un 2, on obtient une solution commençant par 2 via une permutation circulaire.

Il est temps de faire un premier bilan.

Préfixe Solutions trouvées Nombre de nouvelles solutions, avec les symétries

222 222222 1

223 223335 6

223425 6

Notre méthode d'étude est maintenant complète, il ne reste qu'à faire le travail d'exploration. Poursuivons la recherche avec le préfixe 224.

224

L'épouse de E est nécessairement entre A et B:

Cela ne laisse plus qu'un seul choix pour D et F: la configuration 224235.

Par permutation circulaire sur la liste (2,2,4,2,3,5), on obtient 5 nouvelles solutions toutes distinctes. Comme cette liste ne comporte pas la sous-suite (2,2,3) ni la sous-suite (2,2,2), aucune solution obtenue par permutation ne coïncide avec une solution déjà trouvée.

Préfixe Solutions trouvées Nombre de nouvelles solutions, avec les symétries

224 224235 6

225

L'épouse de E est nécessairement entre F et A:

Ceci conduit à une unique solution, 225225:

Par permutation circulaire, on obtient 2 autres solutions.

Préfixe Solutions trouvées Nombre de nouvelles solutions, avec les symétries

225 225225 3

Toutes les configurations commençant par 22 ont maintenant été épuisées. Examinons celles qui commencent par 23.

232

L'impossibilité est patente.

Préfixe Solutions trouvées Nombre de nouvelles solutions, avec les symétries

232 0

233

Si l'épouse de D se trouve entre F et A:

Ceci conduit à deux solutions possibles, 233334 et 233352:

La première de ces solutions en fournit 5 autres par permutation circulaire, mais la deuxième solution a déjà été comptée puisqu'elle commence par 2 via une permutation circulaire.

Si maintenant l'épouse de D se trouve entre A et B:

Ceci conduit à une unique solution, 233424:

Préfixe Solutions trouvées Nombre de nouvelles solutions, avec les symétries

233 233334 6

233352 0

233424 6

234

L'épouse de D ne peut pas se trouver entre A et B, sinon les épouses de E et de F devraient partager la même place. L'épouse de D se trouve donc entre E et F:

On obtient ainsi deux solutions, 234252 et 234234:

La première commence par 22 via une permutation circulaire, donc elle a déjà été comptée. La deuxième fournit 2 autres solutions supplémentaires.

Préfixe Solutions trouvées Nombre de nouvelles solutions, avec les symétries

234 234252 0

234234 3

À partir de maintenant, nous allons plus vite en passant directement aux solutions trouvées et en indiquant le nombre de solutions nouvelles. Le raisonnement est toujours comme ci-dessus.

235

Préfixe Solutions trouvées Nombre de nouvelles solutions, avec les symétries

235 235224 0

242

Préfixe Solutions trouvées Nombre de nouvelles solutions, avec les symétries

242 242424 2

242334 0

242352 0

243

Préfixe Solutions trouvées Nombre de nouvelles solutions, avec les symétries

Impossible 0

244

Préfixe Solutions trouvées Nombre de nouvelles solutions, avec les symétries

244 244455 6

245

Préfixe Solutions trouvées Nombre de nouvelles solutions, avec les symétries

245 245355 6

252

Préfixe Solutions trouvées Nombre de nouvelles solutions, avec les symétries

252 252234 0

252 252252 0

253

Préfixe Solutions trouvées Nombre de nouvelles solutions, avec les symétries

253 253455 6

254

Préfixe Solutions trouvées Nombre de nouvelles solutions, avec les symétries

Impossible 0

255

Préfixe Solutions trouvées Nombre de nouvelles solutions, avec les symétries

255 255255 3

On a ainsi terminé toutes les configurations qui commencent par un 2. Désormais, on peut éliminer d'emblée toutes les configurations qui contiennent un 2 puisque toute solution peut être transformée en une solution commençant par 2 via une permutation circulaire: elle a donc déjà été trouvée.

333

Préfixe Solutions trouvées Nombre de nouvelles solutions, avec les symétries

333 333333 1

333 333342 0

333 333422 0

333 333423 0

334

Préfixe Solutions trouvées Nombre de nouvelles solutions, avec les symétries

334 334233 0

334 334242 0

335

Préfixe Solutions trouvées Nombre de nouvelles solutions, avec les symétries

335 335223 0

343

Préfixe Solutions trouvées Nombre de nouvelles solutions, avec les symétries

Impossible 0

344

Préfixe Solutions trouvées Nombre de nouvelles solutions, avec les symétries

344 344445 6

344 344535 6

345

Préfixe Solutions trouvées Nombre de nouvelles solutions, avec les symétries

345 345345 3

353

Préfixe Solutions trouvées Nombre de nouvelles solutions, avec les symétries

353 353445 0

353 353535 2

354

Préfixe Solutions trouvées Nombre de nouvelles solutions, avec les symétries

Impossible 0

355

Préfixe Solutions trouvées Nombre de nouvelles solutions, avec les symétries

355 355245 0

444

Préfixe Solutions trouvées Nombre de nouvelles solutions, avec les symétries

444 444444 1

445

Préfixe Solutions trouvées Nombre de nouvelles solutions, avec les symétries

445 445344 0

445 445353 0

445 445524 0

555

Préfixe Solutions trouvées Nombre de nouvelles solutions, avec les symétries

555 555555 1

Au terme de cette recherche manuelle quelque peu éprouvante, mais qui se fait bien sur papier, on obtient un total de 80 solutions.

	Son classement, sa renommée
	Les métiers auxquels elle prépare
	Le salaire en sortie
	Son emplacement géographique
	Autre

Préfixe	Solutions trouvées	Nombre de nouvelles solutions, avec les symétries
222	222222	1
223	223335	6
	223425	6

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