Lors d'une éclipse, le Soleil est complètement caché par la Lune. Ces
deux astres sont donc vus depuis la Terre sous le même angle: le Soleil est
par conséquent vu depuis la Terre sous un angle de 0,5°.
(Rappel: la valeur moyenne d'une fonction périodique est son intégrale
sur une période, divisée par la période.) Les courbes des fonctions sinus et
cosinus se déduisent l'une de l'autre par une translation; il en est de même
pour leurs carrés. Les valeurs moyennes de sin² et cos² sont donc égales. Or
leur somme vaut 1 pour tout x, donc la valeur moyenne du carré d'un
cosinus est 1/2.
Une autre manière de raisonner consiste à remarquer que la fonction cos²
oscille régulièrement autour de la valeur 1/2:
Un œil myope
focalise trop les rayons qui parviennent de l'infini: l'image se forme avant
d'atteindre le fond de l'œil. Pour corriger ce défaut, il faut donc
employer des lentilles divergentes. Or ces dernières dispersent les rayons
provenant de l'infini (dont les rayons provenant du Soleil sont une excellente
approximation), tandis que pour allumer un feu il faudrait au contraire les
concentrer en un point. On ne peut donc pas allumer un feu avec des lunettes
de myope.
Utilisons d'abord la logique militaire: les militaires ne marchent jamais
au pas en traversant un pont parce que cela leur est interdit ! Réfléchir,
c'est déjà désobéir.
Un pont peut subir des oscillations verticales, horizontales ou de torsion.
Lorsqu'une troupe marche au pas, il y a une chance pour que la fréquence des
pas corresponde à la fréquence de résonance des oscillations verticales. En
pareil cas, l'intensité de la déformation subie par le pont à cause des
oscillations peut dépasser ses limites de solidité. En d'autres termes, il a
une chance non négligeable de s'effondrer.
On peut se représenter un conducteur comme un édifice constitué par les
atomes, qui ont chacun cédé un ou deux électrons au réseau; ces derniers
forment une sorte de « mer » qui peut se déplacer aisément sous l'effet d'une
différence de potentiel électrique.
Lorsque le conducteur est parcouru par un courant, les électrons du réseau se
déplacent dans le fil. La force de Lorentz magnétique les dévie sur un côté du
fil, qui se charge négativement tandis que l'autre côté a un déficit
d'électrons (donc une charge positive). Ce déséquilibre de charges crée un
champ électrique qui compense exactement la force de Lorentz magnétique
exercée sur les électrons qui se déplacent encore dans le fil, de sorte que
pour eux, c'est comme s'il ne se passait rien: le courant circule normalement.
Mais la structure cristalline (positive), elle, ne ressent que la force
électrique induite par ce champ électrique, ce qui déplace le fil dans son
ensemble puisque l'essentiel de la masse est dans la structure cristalline.
C'est ce qui donne la force de Laplace.
Énigmes
La somme des chiffres sur une horloge vaut 1 + ... + 12 = 12×13/2 = 6×13
= 78. Si le cadran est divisé en 6 parties telles que la somme des chiffres
inclus soit constante, cette somme doit valoir 78/6 = 13. On prend donc 12+1,
11+2, etc., jusqu'à 7+6.
Supposons que dans un zoo il y ait des hippos mais ni rhinos, ni girafes.
Aucune des implications logiques de l'énoncé n'est contredite, donc la réponse
est oui.
« Traverser la gare » signifie qu'à t=0, la tête de la locomotive entre
en gare et qu'à t=26 s, la queue du dernier wagon quitte l'autre extrémité du
quai. Puisque le train met 7 s à passer devant un point immobile, la
locomotive met 26 - 7 = 19 s pour traverser la gare. Sa vitesse est donc de
380 / 19 = 20 m/s, soit 20 × 3,6 = 72 km/h. À cette vitesse il faut 7 s pour
que le train passe devant un point, donc sa longueur est 20 × 7 = 140 m.
En notant R le rayon de la Terre, supposée sphérique, les pieds du
randonneurs parcourent une distance 2 Pi R; en notant h la hauteur du
randonneur, sa tête parcourt une distance 2 Pi (R+h). La différence des
longueurs des deux chemins est donc 2 Pi h, soit environ 11 m.
Les propositions 4 et 6 sont les plus importantes car elles
interagissent. Si A a raison, alors C dit la vérité dans la proposition 6,
donc A a menti et on aboutit à une contradiction. Donc A ment dans la
proposition 4, donc la proposition 6 est fausse, donc au moins une des deux
propositions de A est vraie. Ce ne peut pas être la proposition 4: il
s'agit par conséquent de la proposition 1, et B est coupable.
